Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长是4，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆上一点，且△OAB是等腰直角三角形（点O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C上异于其顶点的任意一点P，作圆x²+y²=$\frac{4}{3}$的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN与x，y轴的交点分别是（m，0），（0，n），证明：$\frac{1}{m^2}$+$\frac{3}{n^2}$是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出B的坐标，代入椭圆方程求得b值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$上的点，求得${{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=4$，再求出以OP为直径的圆的方程，和已知圆的方程作差求出两圆公共弦的方程，然后求得m，n的值，代入$\frac{1}{m^2}$+$\frac{3}{n^2}$得答案．

解答 （Ⅰ）解：如图，
由△OAB是等腰直角三角形，且2a=4，得OA=2，B（1，1），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得$\frac{1}{4}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，∴$\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{3}{4}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$上的点，则${{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=4$，
以OP为直径的圆的方程为$（x-\frac{{x}_{0}}{2}）^{2}+（y-\frac{{y}_{0}}{2}）^{2}=\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{4}$，
整理得：x²+y²-x₀x-y₀y=0，①
又圆x²+y²=$\frac{4}{3}$，②
②-①得，直线MN的方程为${x}_{0}x+{y}_{0}y=\frac{4}{3}$，
取y=0，得$x=\frac{4}{3{x}_{0}}$，即m=$\frac{4}{3{x}_{0}}$；
取x=0，得$y=\frac{4}{3{y}_{0}}$，即n=$\frac{4}{3{y}_{0}}$．
∴$\frac{1}{m^2}$+$\frac{3}{n^2}$=$\frac{9}{16}{{x}_{0}}^{2}+\frac{27}{16}{{y}_{0}}^{2}=\frac{9}{16}（{{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}）=\frac{9}{16}×4=\frac{9}{4}$（为定值）．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，圆与椭圆的位置关系，关键是求出过点P与圆相切的两切线切点的直线MN的方程，是中档题．