Question

14．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C、D分别是椭圆的左右顶点，过椭圆右焦点F作弦AB（A，B，C，D不重合）．当直线AB与x轴垂直，|AB|=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当△OAB的面积为$\frac{2}{3}$时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）设直线AC、AD、BC、BD的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，证明：k₁•k₂•k₃•k₄为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率得得到a²=2b²，再由|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}=\sqrt{2}$，联立求得a²=2，b²=1，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由△OAB的面积为$\frac{2}{3}$，可知弦AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为y=k（x-1），联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得O到直线AB的距离d．代入三角形的面积公式求得k=±1．则直线AB的方程可求；
（Ⅲ）由题意求得C，D的坐标，再由斜率公式求得直线AC、AD、BC、BD的斜率，结合A，B在椭圆上整体运算求得k₁•k₂•k₃•k₄为定值．

解答 （Ⅰ）解：由题意知，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$a=\sqrt{2}c$，b=c，a²=2b²，
把x=c代入椭圆方程得$y=\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}=\sqrt{2}$，解得：a²=2，b²=1，
故椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）解：当直线AB的斜率不存在时，由题意可知，${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故弦AB的斜率一定存在，且设直线AB的方程为y=k（x-1），
将直线的方程代入椭圆方程中，整理得到（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$．
点O到直线AB的距离d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}•|AB|•d=\frac{1}{2}•\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}•\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}|k|（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}=\frac{2}{3}$．
整理得：k⁴+k²-2=0，解得：k=±1．
故直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．
（Ⅲ）证明：由题意C（$-\sqrt{2}，0$），D（$\sqrt{2}，0$），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${k}_{1}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\sqrt{2}}，{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{2}}，{k}_{3}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+\sqrt{2}}$$，{k}_{4}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\sqrt{2}}$．
∴${k}_{1}•{k}_{2}•{k}_{3}•{k}_{4}=\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-2}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-2}$，
又∵${{y}_{1}}^{2}=1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$，${{y}_{2}}^{2}=1-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$，
∴k₁•k₂•k₃•k₄ =$\frac{-\frac{1}{2}（{{x}_{1}}^{2}-2）}{{{x}_{1}}^{2}-2}•\frac{-\frac{1}{2}（{{x}_{2}}^{2}-2）}{{{x}_{2}}^{2}-2}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和椭圆的位置关系，体现了整体运算思想方法，是中高档题．