Question

19．已知点P（m，n）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，则直线mx+ny+1=0与椭圆x²+y²=$\frac{1}{3}$的位置关系为（　　）

• A． 相交
• B． 相切
• C． 相离
• D． 相交或相切

Answer 1

分析 由点P在椭圆上得到m，n的关系，把n用含有m的代数式表示，代入圆心到直线的距离中得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径，则答案可求．

解答 解：∵P（m，n）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
∴$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$，${n}^{2}=3-\frac{3}{4}{m}^{2}$，
圆x²+y²=$\frac{1}{3}$的圆心O（0，0）到直线mx+ny+1=0的距离：
d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+3-\frac{3}{4}{m}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3+\frac{1}{4}{m}^{2}}}≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线mx+ny+1=0与椭圆x²+y²=$\frac{1}{3}$的位置关系为相交或相切．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，考查了直线和圆的位置关系，是基础题．