Question

10．如图：已知方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的椭圆，A，B为顶点，过右焦点的弦MN的长度为y，中心O到弦MN的距离为d，点M从右顶点A开始按逆时针方向在椭圆上移动到B停止，当0°≤∠MFA≤90°时，记x=d，当90°＜∠MFA≤180°，记x=2$\sqrt{2}$-d，函数y=f（x）图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 通过对称性只需考虑x∈[0，$\sqrt{2}$）即可．设过点F的直线l的方程，通过点到直线的距离公式可用d表示出斜率k，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理及两点间距离公式计算可得x∈[0，$\sqrt{2}$）时函数y=f（x）的表达式，进而可得结论．

解答 解：由题易知该图象关于x=$\sqrt{2}$对称，
即只考虑0°≤∠MFA≤90°即x∈[0，$\sqrt{2}$）即可．
∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，点F为其右焦点，
∴F（$\sqrt{2}$，0），
设过点F的直线l斜率为k （0≤k＜$\frac{π}{2}$），
则直线l的方程为：y=k（x-$\sqrt{2}$），
∴x=d=$\frac{|\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即x²=$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，化简得：k²=$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y整理得：$（1+2{k}^{2}）{x}^{2}-4\sqrt{2}{k}^{2}x+4{k}^{2}-4=0$，
由韦达定理可得：x₁+x₂=$\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
则|MN|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{32{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{k}^{2}-16}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16（1+{k}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$
=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$
=$\frac{4（1+\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}）}{1+2•\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}}$
=$\frac{8}{2+{x}^{2}}$，
∴函数y=f（x）=$\frac{8}{2+{x}^{2}}$（0≤x＜$\sqrt{2}$）的图象如图，
故选：B．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查过焦点的直线截椭圆的弦长问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．