Question

2．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），焦距为2$\sqrt{6}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l平行于OM，且与椭圆 E交于A、B两个不同的点（与M不重合），连接 MA、MB，MA、MB所在直线分别与x轴交于P、Q两点，设P、Q两点的横坐标分别为s，t，探求s+t是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过将点M（2，1）代入椭圆方程，利用椭圆E的焦距为2$\sqrt{6}$，计算即得结论；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通过将直线l方程代入椭圆E的方程，利用韦达定理可得s、t的表达式，计算即得结论．

解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点M（2，1），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
又∵椭圆E的焦距为2$\sqrt{6}$，
∴2c=2$\sqrt{6}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）结论：s+t为定值4．
理由如下：
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程为：y=$\frac{1}{2}$x+m（m≠0），
将直线l方程代入椭圆E的方程，消去y整理可得：
x²+2mx+2m²-4=0，
由韦达定理可得：x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=2m²-4，
由题可知MA、MB的斜率一定存在且不为0，设为k₁、k₂，
则直线MA的方程为：y-1=k₁（x-2），
∴s=2-$\frac{1}{{k}_{1}}$，同理可得t=2-$\frac{1}{{k}_{2}}$，
∴s+t=4-$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{k}_{1}•{k}_{2}}$，
又∵k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$
=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{2}-2）（{x}_{1}-2）}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（m-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）-4（m-1）}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=0，
∴s+t=4为定值．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆的方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．