Question

17．如图，设过点N（1，0）的动直线l交椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）于A，B两点，且|AB|的最大值为4，椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在实数t，使得$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$为常数？求实数t的值及该常数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的性质和离心率公式，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（2）假设存在实数t，使得$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$为常数．设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+mcosα}\\{y=msinα}\end{array}\right.$（m为参数），代入椭圆方程，运用韦达定理和同角的平方关系，即可得到t和常数．

解答 解：（1）由题意可知，当AB为长轴时，
|AB|取得最大值，且为2a，
即有2a=4，∴a=2，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$．
则b²=a²-c²=2²-（$\sqrt{3}$）²=1．
∴椭圆C的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+mcosα}\\{y=msinα}\end{array}\right.$（m为参数），
代入椭圆方程可得，（cos²α+4sin²α）m²+2mcosα-3=0，
由于（1，0）在椭圆内，判别式显然大于0，
m₁+m₂=-$\frac{2cosα}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$，m₁m₂=-$\frac{3}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$，
不妨设|NA|=|m₁|，|NB|=|m₂|，
假设存在实数t，使得$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$为常数．
即有$\frac{1}{{{m}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{m}_{2}}^{2}}$+t•$\frac{1}{|{m}_{1}{m}_{2}|}$=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-2{m}_{1}{m}_{2}}{{（m}_{1}{m}_{2}）^{2}}$+t•$\frac{1}{|{m}_{1}{m}_{2}|}$=
$\frac{4co{s}^{2}α+6co{s}^{2}α+24si{n}^{2}α}{9}$+$\frac{tco{s}^{2}α+4tsi{n}^{2}α}{3}$=$\frac{（10+3t）co{s}^{2}α+（24+12t）si{n}^{2}α}{9}$，
由10+3t=24+12t，解得t=-$\frac{14}{9}$，
即有$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$=$\frac{16}{3}$×$\frac{1}{9}$=$\frac{16}{27}$．
故存在实数t=-$\frac{14}{9}$，使得$\frac{1}{|NA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|NB{|}^{2}}$+$\frac{t}{|NA|•|NB|}$为常数$\frac{16}{27}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查直线的参数方程的运用，代入椭圆方程，运用韦达定理，属于中档题．