Question

8．如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底边AB和CD的长分别为6和2$\sqrt{6}$，高为3．
（Ⅰ）求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程；
（Ⅱ）若点N的坐标为（5，2），点M在圆E上运动，
求线段MN的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定四个顶点的坐标，根据对称性判断出E在y轴上，设其坐标，利用两点间的距离公式建立等式求得E的坐标和半径，则圆的方程可得．
（Ⅱ）设出P的坐标，表示出M的坐标代入圆E的方程，进而求得P的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：A（-3，0），B（3，0），D（-$\sqrt{6}$，3），C（$\sqrt{6}$，3），
根据对称性可知，圆心E在y轴上，
设E的坐标为（0，n），
则有9+（n-3）²=6+n²，求得n=2，
∴圆E的圆心为（0，2），半径为$\sqrt{6+4}$=$\sqrt{10}$，
∴圆的方程为：x²+（y-2）²=10．
（Ⅱ）设P坐标为（x，y），
∵P为线段MN的中点，
∴$\frac{5+{x}_{M}}{2}$=x，x_M=2x-5，
$\frac{2+{y}_{M}}{2}$=y，y_M=2y-2，
代入点M所在圆的方程得：（2x-5）²+（2y-4）²=10，
整理得（x-$\frac{5}{2}$）²+（x-2）²=$\frac{5}{2}$，
∴点P的轨迹方程为（x-$\frac{5}{2}$）²+（x-2）²=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用．求圆的方程，一般是确定圆心和半径．解决轨迹方程的问题的步骤先设点，求得变量x和y的关系即可．