Question

20．数列 {a_n}中 a₁=$\frac{1}{2}$，前n项和 S_n=n²a_n-2n（n-1），n∈N^*．
（I）证明数列 {$\frac{n+1}{n}$S_n}是等差数列；
（Ⅱ）设 bn=$\frac{1}{{{n^2}（2n-1）}}$S_n，数列 {b_n}的前 n项和为 T_n，试证明：T_n＜1•

Answer 1

分析 （Ⅰ）把当n≥2时a_n=S_n-S_n-1代入已知的式子化简，由条件求出数列 {$\frac{n+1}{n}$S_n}的首项，根据等差数列的定义即可证明结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出$\frac{n+1}{n}{S}_{n}$，化简后代${b}_{n}=\frac{1}{{n}^{2}（2n-1）}{S}_{n}$化简，利用裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和T_n，即可证明T_n＜1．

解答 证明：（Ⅰ）由题意知，S_n=n²a_n-2n（n-1），n∈N^*．
∴当n≥2时，S_n=n²（S_n-S_n-1）-2n（n-1），
则（n²-1）S_n-n²S_n-1=2n（n-1），
两边同除以n（n-1）可得，$\frac{n+1}{n}{S}_{n}$-$\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}$=2，
又a₁=$\frac{1}{2}$，则$\frac{1+1}{1}{S}_{1}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴数列 {$\frac{n+1}{n}$S_n}是以1为首项、2为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，$\frac{n+1}{n}{S}_{n}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴${S}_{n}=\frac{n（2n-1）}{n+1}$，
∴${b}_{n}=\frac{1}{{n}^{2}（2n-1）}{S}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}＜1$，
∴T_n＜1．

点评 本题考查了等差数列的定义、通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，以及利用数列中通用的公式当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，是数列与不等式的综合题，属于中档题．