Question

16．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{1}{2}$，右焦点为F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁和x₂，则点P（x₁，x₂）（　　）

• A． 必在圆x²+y²=2上
• B． 必在圆x²+y²=2外
• C． 必在圆x²+y²=2内
• D． 以上三种情形都有可能

Answer 1

分析 通过e=$\frac{1}{2}$可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$、x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论．

解答 解：∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x₁，x₂是方程ax²+bx-c=0的两个实根，
∴由韦达定理：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₁x₂=$\frac{-c}{a}$=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{3}{4}$+1=$\frac{7}{4}$＜2，
∴点P（x₁，x₂）必在圆x²+y²=2内．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．