Question

12．已知函数f（x）=cos$\frac{π}{3}$sin2x-sin$\frac{π}{3}$cos2x（x∈R）．
（1）若x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函数f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，若A＜B，f（A）=f（B）=$\frac{1}{2}$，求C．

Answer 1

分析 （1）利用两角和公式对函数解析式化简，利用正弦函数的性质求得函数的最大值．
（2）根据A的范围和特殊值，求得2A-$\frac{π}{3}$的值，进而判断出2B-$\frac{π}{3}$，分别求得A，B，最后利用三角形内角和求得C．

解答 解：（1）f（x）=cos$\frac{π}{3}$sin2x-sin$\frac{π}{3}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
故当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$时，函数f（x）有最大值1．
（2）∵A＜B，
∴A∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∵sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，
∵A＜B，f（B）=$\frac{1}{2}$，
∴2B-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
∴B=$\frac{7π}{12}$，
∴C=π-A-B=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查了两角和和出差的正弦函数公式的应用．考查了学生推理能力．