Question

20．若函数f（x）=$\frac{|sinx|}{x}$-k在（O，+∞）上恰有两个不同的零点x₁、x₂（x₁＜x₂），给出下列4个结论：
①tan（x₁+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$；
②tan（x₁+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$；
③tan（x₂+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$；
④tan（x₂+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由f（x）=0，转化为|sinx|=kx，设g（x）=|sinx|，作出函数g（x）=|sinx|的图象，利用数学结合求出对应的切线方程，结合两角和差的正切公式进行求解即可．

解答 解：由f（x）=$\frac{|sinx|}{x}$-k=0，得|sinx|=kx，
设g（x）=|sinx|，作出函数g（x）=|sinx|的图象如图，
如函数f（x）=$\frac{|sinx|}{x}$-k在（O，+∞）上恰有两个不同的零点，
则等价为函数g（x）=|sinx|与y=kx在（O，+∞）上恰有两个不同交点，
即y=kx与g（x）=|sinx|在（π，$\frac{3π}{2}$）上相切，
此时g（x）=|sinx|=-sinx，则切点坐标为（x₂，-sinx₂），
函数的导数g′（x）=-cosx，切线斜率为g′（x₂）=-cosx₂，
则切线方程为y-（-sinx₂）=-cosx₂（x-x₂），
即y+sinx₂=-cosx₂（x-x₂），
∵切线过原点，
∴sinx₂=-cosx₂（0-x₂）=x₂cosx₂，
即tanx₂=x₂，
则tan（x₂+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan{x}_{2}+tan\frac{π}{4}}{1-tan{x}_{2}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{1+tan{x}_{2}}{1-tan{x}_{2}}$=$\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$；
故C正确，
故正确的结论个数为1个，
故选：B．

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．