Question

16．若椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆右焦点F₂ 斜率为k（k≠0的直线l与椭圆C相交于E，F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF₂ 的斜率为k′，求证：k•k′为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，联立解得即可得出；
（2）设过椭圆右焦点F₂ （1，0）斜率为k（k≠0）的直线l方程为：y=k（x-1），设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），与椭圆方程联立化为（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，直线AE的方程为：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，直线AF的方程为：$y=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}（x-2）$，令x=3，可得点M，N，利用中点坐标公式可得P，可得直线PF₂的斜率k′=$\frac{1}{4}$•$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$，把根与系数的关系代入即可得出．

解答 （1）解：由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，
联立解得a²=4，b²=3，c=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：设过椭圆右焦点F₂ （1，0）斜率为k（k≠0）的直线l方程为：y=k（x-1），
设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由题意△＞0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
直线AE的方程为：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，直线AF的方程为：$y=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}（x-2）$，
令x=3，可得点M$（3，\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$，N$（3，\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$，
∴P$（3，\frac{1}{2}（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}））$，
∴直线PF₂的斜率k′=$\frac{\frac{1}{2}（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）-0}{3-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$=$\frac{1}{4}$$•\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$，
把${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$代入可得k′=-$\frac{3}{4k}$，
∴k′•k=-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．