Question

7．经过椭圆x²+2y²=2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$等于（　　）

• A． -3
• B． ±$\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由椭圆x²+2y²=2可求椭圆的焦点为F（±1，0），不妨设所作直线l过焦点（1，0），可得直线L：y=x-1，联立可求A，B．然后由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂，代入可求．

解答 解：∵椭圆x²+2y²=2中a=$\sqrt{2}$，b=1
∴c=1
椭圆的焦点为F（±1，0）
不妨设所作倾斜角为45°的直线l过焦点（1，0），故直线L：y=x-1
联立$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\{x}^{2}+2{y}^{2}=2\end{array}\right.$消去y可得，3x²-4x=0
解方程可得，x₁=0，x₂=$\frac{4}{3}$
代入直线y=x-1可得，y₁=-1，y₂=$\frac{1}{3}$
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{1}{3}$
故选：C．

点评 本题主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆的相交关系的应用，向量数量积的坐标表示等知识的综合应用，属于综合性试题．