Question

19．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的顶点为A₁，A₂，B₁B₂，焦点为F₁，F₂，a²+b²=7
S${\;}_{?{A}_{1}{B}_{1}{A}_{2}{B}_{2}}$=2S${\;}_{?{B}_{1}{F}_{1}{B}_{2}{F}_{2}}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线m过P（1，1），且与椭圆相交于A，B两点，当P是A，B的中点时，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的几何性质知a²+b²=7，由已知条件得知a=2c，从而解得a，b即求出其方程；
（2）分情况进行讨论：当直线m的斜率存在时，利用平方差法：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程作差，根据斜率公式、中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式即可求得此时直线方程；当直线斜率不存在时，求出点A、B坐标，检验即可．

解答 解：（1）依题意有|A₁B₂|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{7}$，∴a²+b²=7…（1分）
又由${S_{平行四边形{A_1}{B_1}{A_2}{B_2}}}=2{S_{平行四边形{B_1}{F_1}{B_2}{F_2}}}$．
有2a•b=2•2c•b，∴a=2c…（2分）
解得a²=4，b²=3，…（3分），
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（2）当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k（x-1）+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1$，$\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1$，两式相减得：$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{3}{4}×\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$．…（6分）
∵P是AB的中点，∴可得直线m的斜率为$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，…（10分）
当直线m的斜率不存在时，将x=1代入椭圆方程并解得$A（1，\frac{3}{2}）$，$B（1，-\frac{3}{2}）$，
这时AB的中点为（1，0），∴x=1不符合题设要求．…（11分）
综上，直线m的方程为3x+4y-7=0…（12分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，凡涉及弦中点问题一般可考虑点差法，即设出弦端点坐标，代入圆锥曲线方程作差，由中点坐标公式及斜率公式可得弦斜率及中点坐标关系．