Question

14．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，若以F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，则椭圆离心率e的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，1）
• B． [$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}}$]

Answer 1

分析 通过联立圆与椭圆方程，利用根的判别式为非负数，计算即得结论．

解答 解：由题可知以F₁F₂为直径的圆的方程为：x²+y²=c²，
将其代入椭圆方程，消去y可得：（a²-b²）x²+a²b²-a²c²=0，
∵圆与椭圆有交点，
∴△=0-4（a²-b²）（a²b²-a²c²）≥0，
∴c²•a²•（a²-2c²）≤0，
∴a²≤2c²，即e=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又椭圆斜率e＜1，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1，
故选：B．

点评 本题考查圆与圆锥曲线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．