Question

4．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比为（　　）

• A． $\frac{a}{b}$
• B． $\frac{{a}^{2}}{b}$
• C． $\frac{b}{a}$
• D． $\frac{{b}^{2}}{a}$

Answer 1

分析 设锅炉的高h与底面直径d的比为k=$\frac{h}{d}$，运用圆柱的表面积公式和体积公式，结合导数，求得极值点且为最值点，即可得到．

解答 解：设锅炉的高h与底面直径d的比为k=$\frac{h}{d}$，
由V=$\frac{π{d}^{2}}{4}$h=$\frac{π{d}^{2}}{4}$•kd=$\frac{π}{4}$kd³，
可得d=$\root{3}{\frac{4V}{kπ}}$，h=kd=$\root{3}{\frac{4v{k}^{2}}{π}}$，
设造价为y，则y=2π•（$\frac{d}{2}$）²•a+πdh•b=$\frac{πa}{2}$•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•${k}^{-\frac{2}{3}}$+πb•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•${k}^{\frac{1}{3}}$，
则y′=$\frac{πa}{2}$•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•（-$\frac{2}{3}$）${k}^{-\frac{5}{3}}$++πb•$\root{3}{\frac{16{V}^{2}}{{π}^{2}}}$•$\frac{1}{3}$${k}^{-\frac{2}{3}}$，
令y′=0，解得k=$\frac{a}{b}$，可得此时y取得最小值．
故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比为$\frac{a}{b}$．
故选A．

点评 本题考查函数在实际问题中的运用，考查导数的运用：求最值，同时考查圆柱的表面积和体积的运用，属于中档题．