Question

16．在△ABC中，AB=2，BC=3，D是三角形内一点，CD=2，使∠B+∠ADC=180°，问求当∠B为何值时，△ABC和△ADC面积之差最大？（∠B=$\frac{π}{4}$时，面积之差最大）

Answer 1

分析 求出S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×3$sinB=3sinB，再求出AD=-4cosB+3，则可求出两三角形的面积差表达式为4cosBsinB=2sin2B，即可得出结论．

解答 解：根据正弦定理知S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×3$sinB=3sinB
根据余弦定理可知AC²=13-12cosB
且可知AD²+CD²+2AD•CD•cosB=AC²，
联立求出AD=-4cosB+3，
则可求出两三角形的面积差表达式为4cosBsinB=2sin2B≤2
当且仅当B=45°时，取等号，
所以B=45°时，面积之差最大．

点评 这题主要考查余弦定理，利用已知两边和夹角求第三边与面积，另外还设计了一元二次方程的求根方法，属于中档题．