Question

2．已知函数f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（${\frac{1}{a_n}}$），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求满足T_n≤-60的最小正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）由题意化简已知的a_n+1=f（${\frac{1}{a_n}}$），求出数列{a_n}的递推公式，根据等差数列的定义即可证明数列{a_n}是等差数列，再由等差数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）和等差数列的性质判断出数列{a_n}中偶数项也构成等差数列，并求出公差和首项，利用等差数列的前n项公式化简T_n，由条件列出不等式求出解集，最后求出满足T_n≤-60的最小正整数n的值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，
所以${a_{n+1}}=f（{\frac{1}{a_n}}）=\frac{{\frac{2}{a_n}+3}}{{\frac{3}{a_n}}}=\frac{{2+3{a_n}}}{3}={a_n}+\frac{2}{3}$，
即${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{2}{3}$，
所以{a_n}是以$\frac{2}{3}$为公差的等差数列，
又a₁=1，所以${a}_{n}=1+（n-1）×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}$．…（6分）
（2）由（1）可得，a₂、a₄、…、a_2n、成以$\frac{4}{3}$为公差、$\frac{5}{3}$为首项的等差数列，
∴T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=$-\frac{4}{3}（{{a_2}+{a_4}+…+{a_{2n}}}）$…（10分）
=$-\frac{4}{3}•\frac{{（{\frac{5}{3}+\frac{4n}{3}+\frac{1}{3}}）•n}}{2}$=$-\frac{4}{9}（{2{n^2}+3n}）$…（12分）
由T_n≤60得：$-\frac{4}{9}（{2{n^2}+3n}）≤-60$，
∴2n²+3n-135≥0，且n＞0，解得：$n≥\frac{15}{2}$，
故n的最小值为8．…（14分）

点评 本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的应用，以及数列递推公式化简，是数列与不等式的综合题，属于中档题．