Question

7．在△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=120°，点O是△ABC的外心，存在实数λ，μ，使$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则（　　）

• A． λ=$\frac{5}{4}$，μ=$\frac{3}{4}$
• B． λ=$\frac{4}{3}$，μ=$\frac{5}{6}$
• C． λ=$\frac{5}{3}$，μ=$\frac{7}{6}$
• D． λ=$\frac{4}{3}$，μ=$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，D，E分别垂足．$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-1．由$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=λ-μ
，可得λ-μ=$\frac{1}{2}$．同理可得：-λ+4μ=2．联立解出即可．

解答 解：如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，D，E分别垂足．
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1×2×cos120°=-1
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=λ-μ
∴λ-μ=$\frac{1}{2}$．
同理可得：-λ+4μ=2．
联立解得λ=$\frac{4}{3}$，μ=$\frac{5}{6}$．
故选B．

点评 本题考查了向量共线定理、圆的垂经定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．