Question

11．如图，在正四面体S-ABC（四个面都是等边三角形）中，点D是棱AB的中点，则异面直线SD和BC所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 取AC中点E，连接DE、SE．在△ABC中利用中位线定理得DE∥BC，所以∠SDE（或其补角）即为异面直线SD与BC所成的角，设正四面体棱长为a，算出△SDE中各边之长，再利用余弦定理加以计算可得答案．

解答 解：取AC中点E，连接DE、SE，
∵△ABC中D，E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC
因此，∠SDE（或其补角）即为异面直线SD与BC所成的角，
设正四面体棱长为a，由题意可得SD=SE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DE=$\frac{1}{2}$a，
∴在△SDE中，根据余弦定理得
cos∠SDE=$\frac{D{E}^{2}+S{D}^{2}-S{E}^{2}}{2DE×SD}$=$\frac{\frac{1}{4}{a}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}{2×\frac{1}{2}a×\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$
即异面直线AE和BD所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题在正四面体中求异面直线所成角大小．着重考查了正四面体的性质、三角形的中位线定理和异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于中档题．