Question

4．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，f（0）=0，求出函数f（x）的零点；
（2）若f（x）同时满足下列条件：①当x=-1时，函数f（x）有最小值0，②f（1）=1求函数f（x）的解析式；
（3）若f（1）≠f（3），证明方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（1）+f（3）]必有一个实数根属于区间（1，3）

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0，f（0）=0得a=b；从而化简f（x）=ax（x+1）；从而确定零点；
（2）由条件化简可得方程$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=1\\ b=2a\\ a=c\end{array}\right.$，从而解得；
（3）令$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}[f（1）+f（3）]$，从而可判断$g（1）•g（3）=-\frac{1}{4}{[f（1）-f（3）]^2}＜0$，从而证明．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，f（0）=0，
∴a=b；
∴f（x）=ax（x+1）；
∴函数f（x）的零点是0和-1．
（2）由条件①得：$-\frac{b}{2a}=-1，\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}=0$，a＞0；
∴b=2a，b²=4ac，
∴4a²=4ac，
∴a=c；
由条件②知：a+b+c=1，
由$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=1\\ b=2a\\ a=c\end{array}\right.$解得，
$a=c=\frac{1}{4}，b=\frac{1}{2}$．
∴$f（x）=\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}{（x+1）^2}$．
（3）证明：令$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}[f（1）+f（3）]$，
则$g（1）=f（1）-\frac{1}{2}[f（1）+f（3）]=\frac{1}{2}[f（1）-f（3）]$，
$g（3）=f（3）-\frac{1}{2}[f（1）+f（3）]=\frac{1}{2}[f（3）-f（1）]$，
∴$g（1）•g（3）=-\frac{1}{4}{[f（1）-f（3）]^2}＜0$，
∴g（x）=0在（1，3）内必有一个实根，
即方程$f（x）=\frac{1}{2}[f（1）+f（3）]$必有一个实数根属于（1，3）．

点评 本题考查了函数零点的判断与函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．