Question

19．已知函数f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义使f（1）•f（2）…f（k）为整数的数k（k∈N^*）叫做企盼数，则在区间[1，50]内这样的企盼数共有（　　）个．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用对数换底公式可得：f（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2），在区间[1，50]内，只有k的取值使得log₂（k+2）为整数时满足条件，即k+2=2^m（m∈N^*）即可得出．

解答 解：∵f（1）•f（2）…f（k）=$\frac{lg3}{lg2}•\frac{lg4}{lg3}•$…•$\frac{lg（k+2）}{lg（k+1）}$=log₂（k+2），在区间[1，50]内，只有当k=2，6，14，30时，log₂（k+2）为整数，
∴在区间[1，50]内这样的企盼数共有4个．
故选：C．

点评 本题考查了对数换底公式、指数与对数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．