Question

8．已知函数f（x）=sinxcosxcosφ+cos²xsinφ+$\frac{1}{2}$sin（π+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（$\frac{π}{4}，\frac{1}{4}$）
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，π]上的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据f（x）的图象过点（$\frac{π}{4}，\frac{1}{4}$），求得cosφ的值，可得φ的值．
（Ⅱ）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）在[0，π]上的单调增区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinxcosxcosφ+cos²xsinφ+$\frac{1}{2}$sin（π+φ）=$\frac{1}{2}$sin2xcosφ+$\frac{1+cos2x}{2}$sinφ-$\frac{1}{2}$sinφ=$\frac{1}{2}$sin（2x+φ），
且f（x）的图象过点（$\frac{π}{4}，\frac{1}{4}$），
∴$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}$+φ）=$\frac{1}{2}$cosφ=$\frac{1}{4}$，∴cosφ=$\frac{1}{2}$．
结合0＜φ＜π，求得φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度，得到函数y=g（x）=$\frac{1}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$） 的图象，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈z，故函数g（x）的增区间为[得kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
再根据x∈[0，π]，可得g（x）的增区间为[0，$\frac{π}{6}$]、[$\frac{2π}{3}$，π]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的增区间，属于中档题．