Question

17．已知a+b=4（b＞0），当a=x₀时，$\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}{b}$取得最小值y₀，则点P（x₀，y₀）的坐标为（-$\frac{4}{3}$，$\frac{7}{4}$）．

Answer 1

分析 $\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}{b}$转化为$\frac{a}{4|a|}$+$\frac{b}{4|a|}$+$\frac{|4a|}{b}$，再利用基本不等式，得到取的最小值的等号成立的条件，解得即可．

解答 解：∵a+b=4（b＞0），
∴$\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}{b}$=$\frac{a+b}{4|a|}$+$\frac{4|a|}{b}$=$\frac{a}{4|a|}$+$\frac{b}{4|a|}$+$\frac{|4a|}{b}$≥$\frac{a}{4|a|}$+2，当且仅当$\frac{b}{4|a|}$=$\frac{|4a|}{b}$取等号，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{{b}^{2}=16{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{5}}\\{b=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
当a=$\frac{4}{5}$时，$\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}{b}$最小值为$\frac{9}{4}$，
当a=-$\frac{4}{3}$时，$\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}{b}$最小值为$\frac{7}{4}$，
综上所述，当a=x₀=-$\frac{4}{3}$时，$\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}{b}$取得最小值y₀=$\frac{7}{4}$．
∴则点P（x₀，y₀）的坐标为（-$\frac{4}{3}$，$\frac{7}{4}$），
故答案为：（-$\frac{4}{3}$，$\frac{7}{4}$），

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是等号成立的条件，属于基础题．