Question

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²+c²-ac=b²．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB值，即可求出B的度数；
（2）利用正弦定理化简sinC=2sinA，得到c=2a，利用余弦定理列出关系式，求出a与c的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（1）∵△ABC中，a²+c²-ac=b²，即a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
则B=$\frac{π}{3}$；
（2）把sinA=2sinC，利用正弦定理化简得：a=2c，
∵b=3，cosB=$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即9=4c²+c²-2c²，
解得：c=$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{3}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．