Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，F₁，F₂分别为椭圆左右焦点，A为椭圆的短轴端点且|AF₁|=$\sqrt{6}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₂作直线l角椭圆C于P，Q两点，求△PQF₁的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出椭圆C的方程；
（2）由（1）可知：F₂（2，0），设直线l的方程为x=ty+2，与椭圆方程联立化为（3+t²）y²+4ty-2=0，设P（x₁，y₂），Q（x₂，y₂），利用根与系数的关系可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，利用${S}_{△PQ{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|，及其基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{6}$，c=2，b²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）可知：F₂（2，0），设直线l的方程为x=ty+2，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{x=ty+2}\end{array}\right.$，
化为（3+t²）y²+4ty-2=0，
设P（x₁，y₂），Q（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=$\frac{-4t}{3+{t}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-2}{3+{t}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{-4t}{3+{t}^{2}}）^{2}+\frac{8}{3+{t}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{1+{t}^{2}}}{3+{t}^{2}}$，
${S}_{△PQ{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×4×\frac{2\sqrt{6}\sqrt{1+{t}^{2}}}{3+{t}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}\sqrt{1+{t}^{2}}}{3+{t}^{2}}$=$4\sqrt{6}•\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}+\frac{2}{\sqrt{1+{t}^{2}}}}$$≤\frac{4\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$=2$\sqrt{3}$，
当且仅当$\sqrt{1+{t}^{2}}=\frac{2}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，即t=±1时，△PQF₁的面积取得最大值2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．