Question

13．某涉及运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
（1）若射击4次，每次击中目标的概率为0.5且相互独立，设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数字期望E（ξ）；
（2）若射击2次均击中目标，A表示事件“两次击中的部分不同”，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析 （1）根据相互独立事件的概率公式分别求出对应变量的概率即可求ξ的分布列和数字期望E（ξ）；
（2）设A_i表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，B_i表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，根据独立事件同时发生的概率公式进行求解．

解答 解：（1）P（ξ=k）=${C}_{4}^{k}（\frac{1}{2}）^{k}$，k=0，1，2，3，4，
则P（ξ=0）=$\frac{1}{16}$，P（ξ=1）=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{8}$，P（ξ=3）=$\frac{1}{4}$，P（ξ=4）=$\frac{1}{16}$，
则分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	=$\frac{1}{16}$

数学期望E（ξ）=0×$\frac{1}{16}$+1×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{3}{8}$+3×$\frac{1}{4}$+4×$\frac{1}{16}$=2．
（2）设A_i表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，3，
B_i表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2，3，
则P（A₁）=P（B₁）=0.1，P（A₂）=P（B₂）=0.3，P（A₃）=P（B₃）=0.6，
∵A=A₁B₂+A₁B₃+A₂B₁+A₂B₃+A₃B₁+A₃B₂，
∴P（A）=P（A₁B₂）+P（A₁B₃）+P（A₂B₁）+P（A₂B₃）+P（A₃B₁）+P（A₃B₂）
=P（A₁）P（B₂）+P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₁）+P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₁）+P（A₃）P（B₂）
=0.1×0.3+0.1×0.6+0.3×0.1+0.3×0.6+0.6×0.1+0.6×0.3=0.54．

点评 本题主要考查随机变量的分布列以及期望，利用相互独立事件的概率公式是解决本题的关键．