Question

4．已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x-1被圆M所截得的弦长为$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，且圆心M在直线l的下方．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（-3≤t≤-1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆心M（a，0），利用M到l：y=3x-1的距离，结合直线l被圆M所截得的弦长为$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，求出M坐标，然后求圆M的方程；
（Ⅱ）设出过A，B的切线方程，由相切的条件：d=r，求得直线AC、直线BC的方程，进而得到C的坐标，求出△ABC的面积S的表达式，由二次函数是最值求出面积的最值，从而得解．

解答 解：（Ⅰ）设M（a，0）由题设知，M到直线l的距离是d=$\frac{|3a-1|}{\sqrt{10}}$，
l被圆M所截得的弦长为$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，则2$\sqrt{1-{d}^{2}}$=$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，解得d=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由$\frac{|3a-1|}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得a=1或-$\frac{1}{3}$，
由圆心M在直线l的下方，则a=1，
即所求圆M的方程为（x-1）²+y²=1；
（Ⅱ）设过A（0，t）的切线为y=kx+t，
由直线和圆相切的条件：d=r=1，
可得$\frac{|k+t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{1-{t}^{2}}{2t}$，
即切线方程为y=$\frac{1-{t}^{2}}{2t}$x+t①
同理可得过B的切线方程为y=$\frac{1-（t+4）^{2}}{2（t+4）}$x+t+4②，
由①②解得交点C（$\frac{2t（t+4）}{{t}^{2}+4t+1}$，$\frac{2t+4}{{t}^{2}+4t+1}$），
由-3≤t≤-1，则1≤4+t≤3，t+$\frac{1}{t}$+4∈[$\frac{2}{3}$，2]，
又|AB|=4+t-t=4，
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$|AB|•$\frac{2t（t+4）}{{t}^{2}+4t+1}$=4$•\frac{{t}^{2}+4t}{{t}^{2}+4t+1}$
=4（1-$\frac{1}{{t}^{2}+4t+1}$），
由-3≤t≤-1，可得t²+4t+1=（t+2）²-3∈[-3，-2]，
则当t=-2时，△ABC的面积S取得最小值，且为$\frac{16}{3}$；
当t=-1或-3时，S取得最大值，且为6．

点评 本题以圆的弦长为载体，考查直线与圆的位置关系：相切，三角形面积的最值的求法，考查计算能力．