Question

13．已知函数f（x）=x²e^-2ax（a＞0）
（1）已知函数f（x）的曲线在x=1处的切线方程为y=-2e^-4x+b，求实数a、b的值．
（2）求函数在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=（2x-2ax²）e^-2ax，从而可得f′（1）=（2-2a）e^-2a═-2e^-4；从而解出a，代入求b；
（2）由（1）可得f（x）=x²e^-4x，f′（x）=（2x-4x²）e^-4x；从而可得f（x）在[1，2]上单调递减；从而求最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=x²e^-2ax，f′（x）=（2x-2ax²）e^-2ax；
∴f′（1）=（2-2a）e^-2a═-2e^-4；
解得，a=2，
则f（x）=x²e^-4x，f（1）=e^-4，
故直线y=-2e^-4x+b过点（1，e^-4）；
故b=3e^-4；
（2）由（1）得，
f（x）=x²e^-4x，f′（x）=（2x-4x²）e^-4x；
则当x∈[1，2]时，f′（x）=（2x-4x²）e^-4x＜0，
故f（x）在[1，2]上单调递减；
故f_max（x）=f（1）=e^-4．

点评 本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，属于中档题．