Question

3．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点重合．F₁，F₂分别是椭圆C的左右焦点，椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₁且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，若AF₂⊥BF₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程求出焦点坐标，由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点重合求得b，再结合离心率求得a，则椭圆方程可求；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程后由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和与积，结合AF₂⊥BF₂列式求得k的值．

解答 解：（1）抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点坐标为（0，$\sqrt{2}$），
∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点重合，
∴$b=\sqrt{2}$．
又∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴c²=1，a²=3．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由F₁（-1，0），得直线AB的方程为y=k（x+1），
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0．
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{A{F}_{2}}•\overrightarrow{B{F}_{2}}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}）•（1-{x}_{2}，-{y}_{2}）$=1-（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=${k}^{2}+1+（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（{k}^{2}-1）（{x}_{1}+{x}_{2}）$
=$\frac{8{k}^{2}-4}{2+3{k}^{2}}$．
∵AF₂⊥BF₂，∴$\frac{8{k}^{2}-4}{2+3{k}^{2}}=0$，
解得：$k=±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，训练了平面向量数量积的坐标运算，是中档题．