Question

8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当$\overrightarrow{FB}$⊥$\overrightarrow{AB}$时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得，FA²=FB²+BA²，把该式转化为关于a，b，c的方程，然后利用c²=b²+a²，可得关于e的二次方程，解出即可

解答 解：由题意可得，FA²=FB²+BA²，即（a+c）²=c²+b²+a²+b²，
整理得b²=ac，
∴c²-a²-ac=0
两边同除以a²，得0=e²-e-1，
∵e＞1
∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

点评 本题考查双曲线的简单性质、基本量的求解，属基础题，正确理解新定义是关键．