Question

18．已知椭圆C的焦点为（-2，0）和（2，0），椭圆上一点到两焦点的距离之和为4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于A，B两点．当m变化时，求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过椭圆的定义即得结论；
（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理、三角形的面积公式、配方法，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题可知：长轴长$2a=4\sqrt{2}$，即$a=2\sqrt{2}$，
半焦距c=2，∴b²=a²-c²=4，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2{y^2}=8\\ y=x+m\end{array}\right.$，消去y并整理得：3x²+4mx+2m²-8=0，
其根的判别式△=（4m）²-4×3×（2m²-8）＞0，
解得$-2\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$，
由题意，知m≠0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理，
得：${x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{3}$，
设直线l与y轴的交点为E，则E（0，m）．
所以△AOB面积$S=\frac{1}{2}•|m|•|{x_1}-{x_2}|$，
${S^2}=\frac{1}{4}{m^2}{（{x_1}-{x_2}）^2}$
=$\frac{1}{4}{m^2}[{（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}]$
=$\frac{1}{4}{m^2}[{（-\frac{4m}{3}）^2}-4•\frac{{2{m^2}-8}}{3}]$
=$\frac{2}{9}（-{m^4}+12{m^2}）$
=$-\frac{2}{9}{（{m^2}-6）^2}+8$（0＜m²＜12），
∴当m²=6即$m=±\sqrt{6}$时，△AOB面积取得最大值$2\sqrt{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．