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    7．已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，将其沿对角线BD折起，得到四面体A-BCD，如图所示，给出下列结论：
    ①四面体A-BCD体积的最大值为$\frac{72}{5}$；
    ②四面体A-BCD外接球的表面积恒为定值；
    ③若E、F分别为棱AC、BD的中点，则恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
    ④当二面角A-BD-C为直二面角时，直线AB、CD所成角的余弦值为$\frac{16}{25}$；
    ⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为$\frac{14}{5}$．
    其中正确的结论有②③④（请写出所有正确结论的序号）．

    分析 将矩形折叠后得到三棱锥，①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高计算；
    ②求出三棱锥的外接球半径，计算表面积；
    ③连接AF，CF则AF=CF，连接DE，BE，得到DE=BE，利用等腰三角形的三线合一可得；
    ④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴建立坐标系，借助于向量的数量积解答；
    ⑤找到二面角的平面角计算即可．

    解答 解：①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直，四面体A-BCD体积的最大值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$，故不正确；
    ②三棱锥A-BCD外接球的半径为$\frac{5}{2}$，所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4$π×\frac{25}{4}$=25π；②正确；
    ③若E、F分别为棱AC、BD的中点，连接AF，CF则AF=CF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥AC；
    连接DE，BE，容易判断△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD；所以③正确；
    ④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴，则由向量的数量积可以得到直线AB、CD所成角的余弦值为$\frac{16}{25}$，所以④正确．
    ⑤当二面角A-BD-C的大小为60°时，棱AC的长为$\frac{14}{5}$，在直角三角形ABD中，AB=4，AD=3，BD=5，
    作AE⊥BD，CF⊥BD，则AE=CF=$\frac{12}{5}$，DE=BF=$\frac{9}{5}$，
    同理直角三角形ABC中，则EF=BD-DE-BF=$\frac{7}{5}$，
    在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH=AE，连接AH，易得四边形AEFH为矩形，
    则AH=EF=$\frac{7}{5}$，AH∥EF，
    FH⊥DB，又CF⊥DB，即有∠CFH为二面角C-BD-A的平面角，且为60°，
    即CH=CF=$\frac{12}{5}$，
    由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，即有AH⊥CH，
    则AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{193}}{5}$，故⑤错误；
    故答案为：②③④．

    点评 本题考查了平面与立体几何的关系，考查了三棱锥中线线关系，二面角以及三棱锥的外接球的表面积，较综合，属于中档题．

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