Question

15．已知公差不为0的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n；
（2）设T_n为数列$\left\{{\frac{1}{{{S_{n+1}}-1}}}\right\}$的前n项和，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由题意列式求得数列的首项和公差，然后代入等差数列的通项公式和前n项和公式得答案；
（2）求出数列$\left\{{\frac{1}{{{S_{n+1}}-1}}}\right\}$的通项，利用裂项相消法求出数列$\left\{{\frac{1}{{{S_{n+1}}-1}}}\right\}$的前n项和得答案．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），由S₃=9，得3a₁+3d=9，即a₁+d=3．
又a₁，a₂，a₅成等比数列，∴${a}_{1}（{a}_{1}+4d）=（{a}_{1}+d）^{2}$，整理得：d=2a₁，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{d=2{a}_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，${S}_{n}=n+\frac{2n（n-1）}{2}={n}^{2}$；
（2）证明：$\frac{1}{{S}_{n+1}-1}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴${T}_{n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2{n}^{2}+6n+4}$$＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．