Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，长轴长为2$\sqrt{2}$，离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l交椭圆于A、B两点，且AB的中点M为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，长轴长为2$\sqrt{2}$，离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，c，可得b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），两点在椭圆上，可得x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，两式相减，再利用直线l的斜率公式，中点坐标公式，即可得出．

解答 解：（1）因为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，长轴长为2$\sqrt{2}$，离心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以2a=2$\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以a=$\sqrt{2}$，c=1，
所以b=1，
所以椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为点M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）是线段AB的中点，且M在椭圆内．
所以x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
因为此两点在椭圆上，所以x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2．
所以（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
所以k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
所以直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$），化为2x+4y-3=0．

点评 本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，正确运用点差法解决中点弦问题是解题的关键，属于中档题．