Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，P为椭圆上一点，且|PF₁|•|PF₂|的最大值的取值范围是[2c²，3c²]，其中c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 根据题意，|PF₁|•|PF₂|的最大值为a²，则由题意知2c²≤a²≤3c²，由此能够导出椭圆m的离心率e的取值范围．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a
∴|PF₁|•|PF₂|≤a²，
∴|PF₁|•|PF₂|_max=a²，
∴由题意知2c²≤a²≤3c²，
∴$\sqrt{2}$c≤a≤$\sqrt{3}$c，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}≤e≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故椭圆m的离心率e的取值范围[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，确定|PF₁|•|PF₂|的最大值=a²是正确解题的关键．