Question

8．F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$，若△PF₁F₂的面积为16，则b=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设|PF₁|=m，|PF₂|=n，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF₁|•|PF₂|=2b²，结合△PF₁F₂的面积为16，求得b的值．

解答 解：如图，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$，∴PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°，
∴m²+n²=4（a²-b²），
∵m+n=2a，则有（m+n）²=m²+n²+2mn，即mn=2b²，
∴|PF₁|•|PF₂|=2b²．
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×2b²=16，解得b=4．
故选：D．

点评 本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．