Question

13．已知A为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一个动点，直线AB，AC分别过焦点，F₁，F₂，且与椭圆交于B，C两点，若当AC⊥x轴时，恰好有|AF₁|：|AF₂|=3：1，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由椭圆方程求出|AF₂|的长，结合椭圆定义求得|AF₁|，再由|AF₁|：|AF₂|=3：1列式求得椭圆的离心率．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点横坐标为c，不妨设A为椭圆在第一象限的点，
当AC⊥x轴时，由$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），得y_A=$\frac{{b}^{2}}{a}$．
即|AF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，由椭圆定义得，|AF₁|=2a-$\frac{{b}^{2}}{a}$，
又|AF₁|：|AF₂|=3：1，得$\frac{2a-\frac{{b}^{2}}{a}}{\frac{{b}^{2}}{a}}$=3，即a²=2b²=2（a²-c²），
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆的定义，是基础题．