Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的右顶点为A，两焦点坐标分别为（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0），且经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．过点O的直线交椭圆C于M、N两点，直线AM、AN分别交y轴于P、Q两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MA}$，且$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{MA}$，求实数λ的值；
（3）以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆的性质计算可得结论；
（2）设M（x₀，y₀），通过$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{MA}$可得${x}_{0}=\frac{2}{3}$，利用$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MA}$计算可得结论；
（3）设M（x₀，y₀），通过令直线MA、AN中x=0可得P、Q点坐标，进而可得以直线PQ为直径的圆的方程，计算可得结论．

解答 解：（1）设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
依题意可知：2a=PF₁+PF₂=$\sqrt{12+\frac{1}{4}}$+$\sqrt{\frac{1}{4}}$=4，即a=2，
又∵c=$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设M（x₀，y₀），
∵$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{MA}$，∴（x₀，y₀）•（2-x₀，-y₀）=0，
即$2{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}=0$，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，∴${x}_{0}=\frac{2}{3}$或x₀=2（舍），
∵$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MA}$，∴$\frac{2}{3}$=λ（2-$\frac{2}{3}$），
∴λ=$\frac{1}{2}$；
（3）结论：以线段PQ为直径的圆过定点（-1，0）和（1，0）．
理由如下：
设M（x₀，y₀），直线MA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），
令x=0，得y=$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$，即P（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$），
同理可得：Q（0，-$\frac{2{y}_{0}}{{2+x}_{0}}$），
∴以直线PQ为直径的圆的方程为：x²+（y-$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）（y+$\frac{2{y}_{0}}{{2+x}_{0}}$）=0，
令y=0得：x²=$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$•$\frac{2{y}_{0}}{{2+x}_{0}}$=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{4-{{x}_{0}}^{2}}$，
又∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，即4${{y}_{0}}^{2}$=4-${{x}_{0}}^{2}$，
∴x²=1，即x=±1．
∴以线段PQ为直径的圆过定点（-1，0）和（1，0）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到圆的方程、向量数量积运算等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．