Question

9．椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的四个顶点按逆时针排列顺序依次为A，B，C，D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率e²为（　　）

• A． $\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{3+\sqrt{5}}}{8}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• D． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{8}$

Answer 1

分析 根据题意，由四边形ABCD的性质，分析可得其内切圆的半径的大小，又有其内切圆内切圆恰好过椭圆的焦点，即c=r；代入数据，计算可得答案．

解答 解：根据题意，易得四边形ABCD为平行四边形，则其内切圆的圆心为坐标原点；
进而分析可得，四边形ABCD的内切圆半径为Rt△AOB中，斜边AB上的高，
根据题意，易得，AO=a，OB=b，则r=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
根据题意，其内切圆恰好过椭圆的焦点，
即c=r=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，即a²b²=c²（a²+b²）
又由a²=b²+c²；
则有a²（a²-c²）=c²（2a²-c²），
a⁴-3a²c²+c⁴=0，
解得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
因为椭圆的离心率的取值范围为0＜e＜1．
所以e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
故选：A．

点评 本题考查椭圆的性质，涉及平行四边形的有关性质，注意将椭圆的性质与平行四边形的性质结合起来运用，可以简化运算．