Question

19．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，并且2，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{log{{\;}_{2}a}_{n}}{{a}_{n}}$．求数列{b_n}前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由2，a_n，S_n成等差数列，可得2a_n=2+S_n，再利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2，a_n，S_n成等差数列，
∴2a_n=2+S_n，当n=1时，2a₁=2+a₁，解得a₁=2．
当n≥2时，2a_n-1=2+S_n-1，
∴2a_n-2a_n-1=a_n，∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2，∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{log{{\;}_{2}a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴数列{b_n}前n项和为T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了递推式、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．