Question

2．设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）化简数列{b_n}，由对数的运算性质和裂项，可得b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由裂项相消求和即可得到．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-2a_n-1+2，有a_n=2a_n-1，
所以数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，有a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}{2}^{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题数列的通项和求和，注意运用它们的关系式，同时考查等比数列的通项公式和数列的求和方法：裂项求和，考查运算能力，属于中档题．