Question

10．已知椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距为4$\sqrt{3}$，且两准线间距离为$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）过椭圆M的上顶点A作两条直线分别交椭圆于点B，C（异于点A），且它们的斜率分别为k₁，k₂，若k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，求证：直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意得，2c=4$\sqrt{3}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，求出a，b，即可求椭圆M的标准方程；
（2）直线AB的方程为y=k₁x+2，与椭圆的方程联立，求出B的坐标，同理求出C的坐标，确定点B，C关于原点对称，即可得出结论．

解答 （1）解：由题意得，2c=4$\sqrt{3}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，…（2分）
所以a=4，c=2$\sqrt{3}$．…（4分）
所以b=2，…（5分）
又因为焦点在x轴上，所以椭圆M的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…（6分）
（2）证明：由题意得，椭圆M的上顶点为A（0，2），不妨设直线AB的斜率为k₁，
则直线AB的方程为y=k₁x+2，
与椭圆的方程联立，得整理得（1+4k₁²）x²+16k₁x=0…（8分）
又x≠0，所以x_B=-$\frac{16{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，…（10分）
所以y_B=$\frac{-8{{k}_{1}}^{2}+2}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$．…（12分）
同理可得x_C=$\frac{-16{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，y_C=$\frac{-8{{k}_{2}}^{2}+2}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$
又k₁k₂=$-\frac{1}{4}$，所以把k₂=$-\frac{1}{4{K}_{1}}$代入x_C，y_C，
得x_C=$\frac{16{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，y_C=$\frac{8{{k}_{1}}^{2}-2}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，…（14分）
因为x_B+x_C=0，y_B+y_C=0．…（15分）
所以点B，C关于原点对称．
即无论直线AB的斜率k₁取何值时，直线BC恒过一个原点．
所以直线BC恒过一个定点，定点坐标为（0，0）．…（16分）

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．