Question

2．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，且经过点（$\sqrt{3}$，1），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l经过M与椭圆相交于A、B两点，若S_△ABO=$\sqrt{3}$，直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a=$\sqrt{3}$b，且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+2，代入椭圆方程可得，（1+3k²）x²+12kx+6=0，即有△=144k²-24（1+3k²）＞0，
运用韦达定理和△ABO的面积为S_△MBO-S_△MAO=$\frac{1}{2}$×2|x₁-x₂|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，代入韦达定理，解方程即可得到k的值，进而得到直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得a=$\sqrt{3}$b，且$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+2，
代入椭圆方程可得，（1+3k²）x²+12kx+6=0，
即有△=144k²-24（1+3k²）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+3{k}^{2}}$，
则△ABO的面积为S_△MBO-S_△MAO=$\frac{1}{2}$×2|x₁-x₂|
=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{144{k}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{24}{1+3{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
解得k²=1，检验△＞0成立．
则直线l的方程为y=±x+2．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程和运用，联立直线方程运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．