Question

17．已知函数f（x）=3e^2x-2（x-a）³+27，a＜1．
（1）若函数y=f（x）的图象在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=6e^2x-6（x-a）²，从而得到f′（0）=6e⁰-6（0-a）²=0，从而解得；
（2）求导并分解f′（x）=6e^2x-6（x-a）²=6（e^x-x+a）（e^x+x-a），从而化为判断e^x-x+a的正负号，令g（x）=e^x-x+a，从而求导g′（x）=e^x-1≥0，从而讨论a以确定g（x）=e^x-x+a的正负号，从而确定f（x）的单调性，化恒成立问题为最值问题即可．

解答 解：（1）∵f（x）=3e^2x-2（x-a）³+27，
∴f′（x）=6e^2x-6（x-a）²，
又∵函数y=f（x）的图象在x=0处的切线与x轴平行，
∴f′（0）=6e⁰-6（0-a）²=0，
解得，a=-1；
（2）f′（x）=6e^2x-6（x-a）²=6（e^x-x+a）（e^x+x-a），
∵x≥0，a＜1，
∴e^x+x-a＞0；
令g（x）=e^x-x+a，则g′（x）=e^x-1≥0，
∴g（x）=e^x-x+a在[0，+∞）内单调递增；
g（0）=1+a，
（i）当1+a≥0，即-1≤a＜1时，f′（x）≥0，
f（x）在[0，+∞）内单调递增，
故f（0）=3+2a³+27≥0；
故-1≤a＜1；
（ii）当1+a＜0，即a＜-1时，
存在唯一x₀，使g（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-x₀+a=0，
故${e}^{{x}_{0}}$=x₀-a，
则f（x）在[0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增；
故f_min（x）=f（x₀）=3${e}^{2{x}_{0}}$-2（x₀-a）³+27，
即f（x₀）=3${e}^{2{x}_{0}}$-2${e}^{{3x}_{0}}$+27=-（${e}^{{x}_{0}}$-3）（2${e}^{2{x}_{0}}$+3${e}^{{x}_{0}}$+9）；
从而得${e}^{{x}_{0}}$-3≤0，
故0＜x₀≤ln3；
故由${e}^{{x}_{0}}$=x₀-a知，
ln3-3≤a＜-1；
综上所述，ln3-3≤a＜1；
故a的最小值为ln3-3．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，对于（2）中的恒成立问题，涉及到对原函数的导函数二次求导分析导函数的单调性，使问题的难度更大，特别是当导函数的最小值小于0时，如何借助于导函数的零点分析原函数的最小值，更是大多数学生难以逾越的地方，属难度较大的题目．