Question

9．设S_n是数列{a_n}的前n项和，若$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$（n∈N^*）等于同一个非零的常数，则称数列{a_n}为“和等比数列”，给出下列结论：①等比数列可能为“和等比数列”；②非等差等比数列不可能为“和等比数列”；③若正数数列{a_n}是公比为q的等比数列，且数列{lna_n}是“和等比数列”，则q=a${\;}_{1}^{2}$，其中有正确的结论的序号的是①③．

Answer 1

分析 ①举例说明等比数列可以为“和等比数列”；
②举例说明非等差等比数列也可能为“和等比数列”；
③当正数数列{a_n}是等比数列时，{lna_n}是等差数列，根据题意得出公比q=a₁²．

解答 解：对于①，设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，前n项和为S_n，
当q=1时，$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$=$\frac{2{na}_{1}}{{na}_{1}}$=2，数列{a_n}为“和等比数列”，①正确；
对于②，非等差等比数列也可能为“和等比数列”，如1，0，1，0，1，0，②错误；
对于③，当正数数列{a_n}是公比为q的等比数列，设a_n=a₁q^n-1，则
lna_n=ln（a₁q^n-1）=lna₁+（n-1）lnq，
∴{lna_n}是公差为lnq的等差数列，
∴$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$=$\frac{2n•l{na}_{1}+\frac{1}{2}•2n（2n-1）•lnq}{n•l{na}_{1}+\frac{1}{2}•n（n-1）•lnq}$=k（k≠0），
∴lna₁=$\frac{1}{2}$lnq，
∴q=a₁²，③正确；
综上，正确的命题是①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查了新定义的命题及其应用问题，考查了等差数列和等比数列的通项和以及求和公式的应用问题，是综合性题目．