Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=5，S₅=20，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100项和为（　　）

• A． $\frac{99}{202}$
• B． $\frac{25}{51}$
• C． $\frac{100}{101}$
• D． $\frac{51}{101}$

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₄=5，S₅=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=5}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}•d=20}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100项和S₁₀₀=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{101}-\frac{1}{102}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{102}$
=$\frac{25}{51}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．