Question

12．已知直线l过点P（1，2），分别与x、y轴交于点A（a，0），B（0，b），O为坐标原点．
（1）若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的一半，求直线l的方程；
（2）若a＞0，b＞0，求a+b的最小值，并求最小值时，直线l的方程；
（3）若a＞0，b＞0，求|PA|•|PB|的最小值，并求最小值时，直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）若a=b=0，则直线l的方程为：y=2x．当a，b中只有一个为0时，不符合题意．当ab≠0时，由题意可得直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，把（1，2）代入可得：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=1，又a=$\frac{1}{2}$b，联立解得即可．
（2）由a＞0，b＞0，由（1）可得：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=1，变形为a+b=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$，展开利用基本不等式的性质即可得到．
（3）设∠OAB=θ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．可得a=1+$\frac{2}{tanθ}$，b=2+tanθ，由于|PA|•|PB|=$\frac{2}{sinθ}$$•\frac{1}{cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$≥4，即可得出．

解答 解：（1）若a=b=0，则直线l的方程为：y=2x．当a，b中只有一个为0时，不符合题意，舍去．
当ab≠0时，由题意可得直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，
把（1，2）代入可得：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=1，又a=$\frac{1}{2}$b，联立解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线l的方程为：$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1$．
（2）∵a＞0，b＞0，由（1）可得：$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=1，
∴a+b=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=3+$\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}$$≥3+2\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{2a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当b=$\sqrt{2}$a=2+$\sqrt{2}$时取等号，
∴此时直线l的方程为：$\frac{x}{\sqrt{2}+1}+\frac{y}{2+\sqrt{2}}$=1，化为$\sqrt{2}x$+y-$（2+\sqrt{2}）$=0．
（3）设∠OAB=θ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
a=1+$\frac{2}{tanθ}$，b=2+tanθ，
|PA|•|PB|=$\frac{2}{sinθ}$$•\frac{1}{cosθ}$=$\frac{4}{sin2θ}$≥4，当且仅当$θ=\frac{π}{4}$时取等号．
∴a=3，b=3．
∴直线l的方程为：x+y=3．

点评 本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质、三角函数换元方法，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．