Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PB}$，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先求出点A，B的坐标，设出点P的坐标，利用$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PB}$，得到a与c的关系，从而求出离心率．

解答 解：如图，由于BF⊥x轴，
故x_B=-c，y_B =$\frac{{b}^{2}}{a}$，即B（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
设P（0，t），又A（a，0），
∵$\overrightarrow{AP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{PB}$，
∴（-a，t）=$\sqrt{2}$（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$-t）．
∴a=$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
另解：由$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AO}{OF}$，即$\sqrt{2}$=$\frac{a}{c}$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，属于中档题．