Question

1．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，并且经过点（1，$\frac{3}{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在椭圆C上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，点D为垂足，若点M在线段DP的延长线上并且满足|DM|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|DP|，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，利用c，求出b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出M（x，y），由点M在线段DP的延长线上并且满足|DM|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|DP|，M的坐标用P的坐标表示，代入椭圆C的方程，即可求点M的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意，2a=$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$+$\sqrt{0+\frac{9}{4}}$=4，∴a=2，
∵c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）设M（x，y）（y≠0），
∵|DM|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|DP|，
∴P（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得x²+y²=4（y≠0）．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．